Binomial taqsimot: “necha marta muvaffaqiyat”

Tangani 10 marta tashlaysiz. Aynan 7 marta gerb tushish ehtimoli qancha? Bu binomial taqsimot savoli.

Uch shart

Binomial taqsimot quyidagi holatlarga mos keladi:

• Sinovlar soni oldindan belgilangan (n).
• Har sinovning ikkita natijasi bor: muvaffaqiyat yoki muvaffaqiyatsizlik.
• Muvaffaqiyat ehtimoli (p) har sinovda bir xil va sinovlar bir-biriga ta’sir qilmaydi.

Uchinchi shart eng ko‘p buziladi. Masalan qutidan qaytarmasdan shar olish — har olingandan keyin ehtimol o‘zgaradi, demak binomial emas.

Sinab ko‘ring

Sinovlar soni (n) ni 10, Muvaffaqiyat ehtimoli (p) ni 0.5 qoldiring. Quyi chegara va Yuqori chegara ga ikkalasiga ham 7 yozing.

Ehtimol taxminan 0,117 chiqadi — ya’ni 10 tashlashda aynan 7 gerb chiqishi 12% atrofida. Endi chegaralarni 7 va 10 qiling: bu “kamida 7 marta” degani, ehtimol ~17%.

Shakli p ga bog‘liq

p = 0,5 bo‘lganda taqsimot simmetrik. p ni 0.1 ga o‘zgartiring — taqsimot chapga siljiydi va qiyshiq bo‘ladi. p ni 0.9 qiling — o‘ngga qiyshayadi.

Normal taqsimotga yaqinlashuvi

n katta bo‘lganda binomial taqsimot normal taqsimotga juda o‘xshab qoladi. n ni 100 qiling va shaklga qarang — tanish qo‘ng‘iroq egri chizig‘i paydo bo‘ladi.

Bu tasodif emas: ko‘p mustaqil tasodifiy hodisa qo‘shilganda natija normal taqsimotga intiladi. Bu markaziy limit teoremasi deyiladi va statistikaning eng chuqur natijalaridan biri.